《积分变换与复变函数》课程教学大纲课程名称：积分变换与复变函数
课程编号：21900401
学分/学时：3学分/54学时
课程类型：公共基础课
考核方式：考试
开课学期：春季学期、秋季学期（大二第一或第二学期）
开课单位：应用数学学院
先修课程：高等数学
后续课程：线性代数、概率论与数理统计
适用专业：理工类本科专业
一、课程性质与教学目标（明确专业毕业要求及指标点）
课程性质：《积分变换与复变函数》是我校理工科非数学专业学生必修的重要基础理论课程，本课程为工科特别是光信、电子（电气）工程、信号处理等专业的基础课。通过本课程的学习，要求学生掌握复分析及积分变换的方法，为处理线性系统做出必要的数学准备。
教学目标：使学生正确理解和掌握复变函数的基本理论和方法，掌握Fourier变换与Laplace变换的基本理论和方法的基础上,为进一步学习数字信号处理等后续专业课程及进一步扩大数学知识面提供必要的数学基础，同时使学生在利用这些概念和方法分析解决实际问题方面具备一定的能力。
二、课程教学内容及学时分配（含实验、实践、自学、讨论等的内容及要求）
教学内容
| 学时
| 基本要求
| 毕业要求
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第一部分 复变函数
第一章 复数与复变函数
1、复数及其代数运算
2、复数的几何表示
3、复数的乘幂与方根
4、区域 5、复变函数
6、复变函数的极限和连续性
| 4学时
| 基本要求：
理解复数的概念及各种表示；掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算；理解区域的有关概念；掌握用复数方程来表示常用曲线及用不等式表示区域的方法；了解复变函数及映射的概念，复变函数与一对二元实函数的关系；知道复变函数的极限与连续及其运算性质.
重点：
复数的运算及各种表示法；复变函数以及映射的概念；
难点：
复数的表示法；四则运算；棣莫佛公式；
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第二章 解析函数
1、解析函数的概念
2、解析函数的充要条件
3、初等函数
| 6学时
| 基本要求：
理解复变函数的导数的定义，掌握求导的方法；理解解析函数的定义，掌握函数解析的充要条件，会判断一个函数是否解析；了解指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数的定义，及它们的解析性质、运算性质.
重点：
解析函数的概念；函数解析性的判别；
难点：
用Cauchy-Riemann方程判定函数的解析性；初等函数的定义；
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第三章 复变函数的积分
1、复变函数积分的概念
2、柯西－古萨基本定理
3、基本定理的推广—复合闭路定理
4、原函数和不定积分
5、柯西积分公式
6、解析函数的高阶导数
7、解析函数与调和函数的关系
| 8学时
| 基本要求：
掌握复变函数积分概念，柯西-古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，解析函数的高阶导数
重点：
复变积分的基本定理；柯西积分公式及高阶导数公式；
难点：
复变积分的基本定理；柯西积分公式及高阶导数公式；
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第四章 级数
1、复数项级数
2、幂级数
3、泰勒级数
4、洛朗级数
| 8学时
| 基本要求：
知道复数列收敛的概念；了解复数项级数收敛的有关定理，能判断复数项级数的收敛性；了解阿贝尔定理及幂级数的收敛情况，掌握求幂级数收敛圆的方法，知道幂级数在收敛域的性质；知道复变函数展开式成泰勒级数的条件，熟悉几种初等函数(指数函数，三角函数
 ，
 ，对数函数
 ，幂函数
 )的麦克劳林展开式；理解洛朗级数的概念及其收敛域，能熟练地把一些较简单的函数在不同的圆环域内展开为洛朗级数.
重点：
复变函数展开成泰勒级数与洛朗级数；收敛半径的求法；
难点：
阿贝尔定理的应用；复变函数展开成泰勒级数与洛朗级数；
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第五章 留数
1、孤立奇点
2、留数
3、留数在定积分计算上的应用
| 6学时
| 基本要求：
了解孤立奇点的定义及其分类，掌握其判断方法;理解留数定理及其应用;掌握孤立奇点（包括
 点）留数的计算方法，会用留数定理求一些必要的定积分.
重点：
留数的计算与留数定理；
难点：
留数的计算与留数定理；
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第六章 共形映射
1、共性映射的概念
2、分式线性映射
3、唯一决定分式线性映射的条件
4、介个初等函数构成的映射
| 8学时
| 基本要求：
理解解析函数导数的几何意义，共形映射的概念及其重要性质；掌握线性映射、分式线性映射及其性质
重点：
掌握线性映射、分式线性映射及其性质；
难点：
掌握线性映射、分式线性映射及其性质；
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第二部分 积分变换
第一章Fourier变换
1、Fourier积分
2、Fourier变换
3、Fourier变换的性质
4、卷积与相关函数
5、Fourier变换的应用
| 8学时
| 基本要求：
理解傅里叶变换及其逆变换的概念，掌握某些函数的傅里叶变换;了解
 -函数的概念和性质，记住
 -函数的Fourier变换;知道傅里叶变换的性质和卷积定理.
重点：
函数的Fourier变换、Laplace变换及其逆变换；
难点：
函数的Fourier变换、Laplace变换及其逆变换；
 -函数；
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第二章Laplace变换
1、Laplace变换的概念
2、Laplace变换的性质
3、Laplace逆变换
4、卷积
5、Laplace变换的应用
| 6学时
| 基本要求：
理解拉普拉斯变换的概念，注意它与傅里叶变换的区别、联系;掌握求拉普拉斯变换的方法;了解拉普拉斯变换的性质;了解用留数求拉普拉斯逆变换的方法;知道卷积、卷积定理；能熟练应用拉普拉斯变换，求解微分方程或微分方程组.
重点：
傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质；用傅里叶变换/拉普拉斯变换求解微分方程或微分方程组；卷积定理；
难点：
用傅里叶变换/拉普拉斯变换求解微分方程或微分方程组；卷积定理；
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三、教学方法
《积分变换与复变函数》是工科专业的一门重要的基础课。通过课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论、方法及应用，掌握Fourier变换与Laplace变换的性质、方法，为学习有关后续课程奠定必要的数学基础。它的理论和方法，对于数学的其他学科，对于物理，力学，工程技术中的一些问题，有许多重要的应用。通过本课程的教学，应使学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力，从而为从事教学研及其他实际工作打好基础。课堂教学以课堂讲授为主，使用多媒体、板书、Flash动画，结合作业、小测、答疑等方式共同实施，注重过程启发式教学法，调动学生的学习积极性和学习效率。在教学中加强习题课的教学，使学生在掌握相应的数学能力的同时，形成创新和应用技能，注意植入一些专业知识，既保证课程的趣味性，又保证课程的实用性。
四、考核及成绩评定
1
| 作业、讨论及课堂表现
| 30%
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2
| 期末考试
| 70%
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总计
| 100%
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评分规则：
1）作业：每次作业应在规定时间上交，迟交作业或作业不满足下列要求均按零分计算，每次作业按百分制评分，总评后折算成20分，下表为作业的评分规则。
完成情况
| 得分
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严格按照作业要求并及时完成，基本概念清晰，解决问题的方案正确、合理，计算准确，图面正确，书写规范
| 90-100分
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按照作业要求并及时完成，基本概念较清晰，解决问题的方案较正确，图面及书写较规范
| 75-90分
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基本按照作业要求并及时完成，基本概念基本清晰，解决问题的方案基本正确、基本合理，图面及书写基本规范
| 60-75分
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不能按作业要求，未及时完成作业，基本概念不清楚，不能制定正确解决问题的方案，图面马虎、字迹潦草，或者发现抄袭
| 60分以下
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2）讨论及课堂表现：讨论是指课堂教学中工程实例讨论、知识点讨论、作业讨论等，课堂表现是指课堂到课情况，按百分制评分，总评后折算成10分，下表为评分规则。
完成情况
| 得分
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无旷课迟到早退现象，专心上课；积极参与讨论，能清楚地阐明自己的观点和想法，能积极与同学、老师交流互动
| 90-100分
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无旷课迟到早退现象，上课较专心；较积极地参与讨论，能较清楚地阐明自己的观点和想法，能与同学、老师交流互动
| 75-90分
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有旷课迟到早退现象1-2次；参与讨论的积极性一般，阐明自己的观点和想法能力一般
| 60-75分
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有旷课迟到早退现象3次以上，上课不专心；不参与讨论，不能与同学、老师交流互动
| 60分以下
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4）期末考试：按期末考试试卷标准或参考答案、评分标准百分制评分，总评后折算成70分。
五、教材及参考书目
教 材：[1]《复变函数》，高教出版社出版，西安交通大学编。
[2]《积分变换》，高教出版社出版，东南大学数学系，张元林编。
参考书：[1]《复变函数与积分变换》，科学出版社出版，哈工大数学系编。
[2]《复变函数与积分变换》，高教出版社出版，周正中、郑吉富编。
[3]《复变函数与运算微积初步》，人民教育出版社，格•列•伦兹，列•埃•艾乐斯茨著，熊振翔等译，1996年。
拟稿（签名）： 年 月 日
核稿（签名）： 年 月 日
审批（签名）： 年 月 日
