课程名称

中文：高等数学Ⅱ

英文：Advanced MathematicsⅡ

课程编号

学分/学时

8学分/146学时

所属教研室

公共数学

前后课程

课程类型

公共基础课

考核方式

考试

授课对象

本科管理类各专业

教学目的

要求学生理解《高等数学II》中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论、以及与之相关的经济学方面的基础知识；学会、掌握和熟练掌握上述各部分的基本方法，并能应用于解决简单的经济问题；让学生注意各部分知识的结构及知识的内在联系；培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观能力和空间想象能力，为学习后继相关课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础；注重培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的意识与能力。

教学重点：

函数与极限概念，极限的求法，无穷小量与无穷大量，极限存在准则，两个重要极限，函数的连续与间断。导数概念及其几何意义，导数基本公式，复合函数、隐函数求导，微分及其应用。中值定理，函数单调性的判别，极值最值的求法。不定积分的概念，基本积分公式，不定积分的换元积分法、分部积分法，有理函数的可积性研究。定积分概念与性质，变上限函数导数，牛顿－莱布尼兹公式，定积分的换元积分、分部积分。定积分的元素法，平面图形面积，旋转体的体积。空间解析几何初步，多元函数的概念，偏导数、全微分及其应用，多元复合函数求导，二元函数极值及应用。二重积分的计算及其应用。无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法。常微分方程解的概念，变量可分离方程，一阶线性微分方程的求解，线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次、非齐次线性微分方程求解。

教学难点：

极限概念与求法，复合函数求导，中值定理，换元积分法、有理函数积分，定积分的元素法，定积分的应用。多元复合函数求导，利用极坐标计算二重积分，正项级数的审敛法，幂级数展开，线性微分方程解的性质与结构，二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。

教材和主要参考资料：

教 材：《微积分》 高等教育出版社，朱来义主编 2004年3月第2版

参考书：[1] 《高等数学》（第五版），高等教育出版社，同济大学应用数学系

[2] 《微积分》中国商业出版社，范培华主编

[3] 《微积分学习与考试指导》中国人民大学出版社，赵树螈等

[4] 《经济数学基础教材辅导》机械工业出版社，北大数学学院 田勇 主编

教学内容

学时

基本要求

Ch1、函数及其图形

4

(1)理解函数的概念，熟悉函数的表示方法及分段函数、隐函数的意义;

(2)理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;

(3)理解复合函数、反函数、初等函数的概念。熟练掌握基本初等函数的性质及其图形， 会建立简单应用问题中的函数关系式。

Ch2、极限和连续

14

(1)了解极限的

、

定义，理解极限思想的来源。

(2)了解无穷小、无穷大的概念和基本性质，掌握无穷小的比较，熟练掌握等价无穷小量在求极限中的应用。

(3)理解极限的性质与极限存在的两个准则（单调有界数列有极限、夹逼定理），掌握极限四则运算法则，会应用两个重要极限。

(4)掌握函数连续性的判断（含左、右连续）。 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，会判断间断点的类型。了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理和介值定理）及其简单应用。

Ch3、导数和微分

12

(1)理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义，学会导数在经济学中的应用（含边际与弹性的概念）。

(2)掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；

(3)掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法；熟练计算函数的导数。了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及较简单函数的n阶导数。

(4)理解微分的概念，导数与微分之间的关系，掌握微分的运算法则以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分；了解微分在近似计算中的应用。

Ch４、微分中值定理与导数的应用

16

(1)理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理。了解柯西（Cauchy）中值定理。能利用中值定理证明一些简单的命题。

(2)熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

(3)理解函数极值和最值的概念，掌握函数单调性的判别方法及其应用。掌握求函数极值和最值的方法；并会解决实际中的最值问题。掌握曲线凹凸性和拐点的判别方法，以及曲线的渐近线的求法。

(4)了解函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形。

(5)掌握边际与弹性的概念，会求边际与弹性，并了解其经济含义。

Ch5、不定积分

14

(1)理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质。

(2)熟练掌握基本积分公式。

(3)熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法。

(4)掌握有理函数的可积性理论，并能熟练应用此理论解决各种有利函数的积分。

Ch6、定积分

16

(1)理解定积分的概念、基本性质和几何意义；

(2)理解定积分的积分中值定理，理解变上限积分是变上限的函数并会求它的导数，熟练运用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分

(3)掌握定积分的换元法、分部积分法及有理函数积分等。

(4)理解积分的元素法，会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积及函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题。

(5)了解广义积分的概念，会计算广义积分。

Ch7、多元函数微积分

32

(1)了解多元函数的概念及其几何意义。理解二元函数的极限与连续等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。

(2)理解多元函数偏导数与全微分的概念，熟练掌握求偏导数与全微分的方法。

(3)会求多元复合函数的偏导数，掌握由一个或多个方程确定的隐函数的求偏导的方法。

(4)理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。会求简单多元函数的最大值和最小值，并会用多元函数微积分知识解决简单的经济问题。

(5)理解二重积分的概念、几何意义与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。学会二重积分的简单应用。

Ch8、无穷级数

20

(1)理解级数的收敛、发散的概念。掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件。

(2)熟悉几何级数、调和级数和P级数的敛散性。掌握正项级数的比较判别法。熟练掌握正项级数的比值判别法。会用根值判别法。

(3)掌握交错级数的莱布尼茨判别法。理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，会判断给定的任意项级数的收敛性。

(4)会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数，

(5)了解常见幂级数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

Ch9、微分方程与差分方程

18

(1)了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

(2)熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。掌握齐次微分方程的求解方法。

(3)掌握二阶常系数齐次线性微分方程。了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

(4)了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。

有关说明：