课程名称

中文：高等数学Ⅰ

英文：Advanced MathematicsⅠ

课程编号

学分/学时

10学分/160学时

所属教研室

公共数学

前后课程

课程类型

公共基础课

考核方式

考试

授课对象

本科理工类各专业

教学目的

要求学生理解《高等数学Ⅰ》中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握和熟练掌握上述各部分的基本方法。并注意各部分知识的结构及知识的内在联系；培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观能力和空间想象能力；从而使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决几何、物理学和经济学等实际问题初步训练。为学习后继课和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。

教学重点：函数的概念；极限的概念，无穷小，两个重要极限，极限的四则运算，函数的连续性，间断点。导数的概念，导数的几何意义，初等函数导数的求法，微分的求法。拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定法，函数的极值及其求法，最大值与最小值问题，曲率。原函数与不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。定积分的概念，变上限的定积分是变上限的函数及其求导，牛顿－莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，平面图形的面积、旋转体体积，定积分在物理学中应用。向量的概念，向量的数量积，向量的向量积，平面的点法式方程，直线的对称式方程。多元函数的定义，偏导数与全微分，条件极值。二重积分的概念，二重积分的计算法，三重积分的计算法。曲线积分的概念及其性质，曲线积分的计算法，曲面积分的概念及其性质，曲面积分的计算法，平面曲线积分与二重积分的关系（格林公式），平面曲线积分与路径无关的条件，曲面积分与三重积分的关系（高斯公式）。数项级数的概念，正项级数敛散性的判别法，几何级数、调和级数和Ｐ级数的敛散性，任意项级数，莱布尼兹判别法，幂级数的概念，收敛半径，简单的初等函数展开为幂级数。函数的傅立叶系数，函数展开为傅立叶级数。微分方程的概念，可分离变量的方程，一阶线性微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。

教学难点：极限的概念，无穷小的等价代换，函数的连续性；导数的概念，复合函数的导数的求法；洛必达法则，函数增减性的判定法；换元积分法，分部积分法；变上限的定积分是变上限的函数及其求导，平面图形的面积、旋转体体积。定积分在物理学中应用；向量的向量积，平面的点法式方程，直线的对称式方程，二次曲面；复合函数的偏导数，条件极值；二重积分的计算，三重积分的计算；曲线积分的计算法，曲面积分的计算法，平面曲线积分与路径无关的条件；正项级数敛散性的判别法，幂级数的收敛半径，初等函数展开为幂级数。函数展开为傅立叶级数；齐次方程，可降阶方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。

教材和主要参考资料：

教 材：《高等数学》 同济大学出版社，杨海涛主编2007年7月第1版

参考书：[1]《高等数学》（第六版），高等教育出版社，同济大学应用数学系

[2]《微积分》中国商业出版社，范培华主编

[3]《高等数学》上、下册盛祥耀编

[4]《高等数学》华东师范大学数学系主编

教学内容

学时

基本要求

1、函数与极限、连续

20

知识点：函数的概念，函数的性质，，初等函数；极限的概念，两个重要极限，无穷小，极限的四则运算，函数的连续性，间断点，闭区间上连续函数的性质。

重点：函数的概念；极限的概念，无穷小，两个重要极限，极限的四则运算，函数的连续性，间断点。

难点：极限的概念，无穷小的等价代换，函数的连续性

基本要求：理解函数概念，掌握函数记号，了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，了解反函数和复合函数的概念。了解基本初等函数的性质及其图形，能列出简单实际问题中的函数关系。了解极限的ε-N和ε-δ定义，掌握极限四则运算法则。了解极限存在的两个准则（夹逼准则，单调有界准则），掌握两个重要极限、求极限的方法。了解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较。理解函数在一点处连续的概念，会判断间断点的类型。了解初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（介值定理、最大值、最小值定理等）。

2、导数与微分

18

知识点：导数的概念，导数的几何意义与物理意义，初等函数导数的求法，微分的求法。

重点：导数的概念，导数的几何意义，初等函数导数的求法，微分的求法。

难点：导数的概念，复合函数的导数的求法

基本要求：理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。熟练掌握导数和微分的运算法则(包括微分的形式不变性)和导数的基本公式，了解高阶导数的概念。能熟练地求出初等函数的一、二阶导数。了解隐函数和参数方程确定的函数的一、二阶导数的求法。会求简单初等函数的n阶导数。

3、微分中值定理与导数的应用

16

知识点：罗尔（Rolle）定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，洛必达（L’Hospital）法则，函数增减性的判定法，函数的极值及其求法，最大值与最小值问题，曲线的凹凸性、拐点，曲线图形的描绘，曲率的定义及其计算公式。

重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定法，函数的极值及其求法，最大值与最小值问题，曲率。

难点：洛必达法则，函数增减性的判定法。

基本要求：理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗曰(Lagrange)定理。了解柯西（Cauchy）定理和泰勒(Taylor)定理。会应用拉格朗曰定理解题。理解函数的极值概念，掌握求函数的极值，判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点等方法。会判断图形的水平、垂直渐近线。会解简单的最大值和最小值的应用问题。掌握罗必塔法则。

4、不定积分

12

知识点：原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。

重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。

难点：换元积分法，分部积分法。

基本要求：理解不定积分的概念及性质，熟练掌握不定积分的基本公式、不定积分的换元法和分步积分法。了解较简单的有理函数的积分。

5、定积分及定积分的应用

16

知识点：定积分的概念，定积分的性质，变上限的定积分是变上限的函数及其求导，牛顿－莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，广义积分，平面图形的面积、旋转体体积、定积分在物理学中的应用举例。

重点：定积分的概念，变上限的定积分是变上限的函数及其求导，牛顿－莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，平面图形的面积、旋转体体积，定积分在物理学中应用。

难点：变上限的定积分是变上限的函数及其求导，平面图形的面积、旋转体体积。定积分在物理学中应用。

基本要求：了解定积分的概念，理解定积分的性质，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛——莱公式、定积分的换元法和分步积分法。了解广义积分的概念，知道定积分的近似计算。了解用定积分来表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长及功等）的方法。

6、空间解析几何与向量代数

14

知识点：向量的概念，向量的线形运算，向量的数量积，向量的向量积，平面方程，点到平面的距离，空间直线方程，简单的二次曲面。

重点：向量的概念，向量的数量积，向量的向量积，平面的点法式方程，直线的对称式方程，

难点：向量的向量积，平面的点法式方程，直线的对称式方程，二次曲面。

基本要求：理解矢量的概念、掌握矢量的运算（线性运算、点积、叉积）。掌握两个矢量夹角的求法及垂直、平行的条件。掌握单位矢量、方向余弦及矢量的坐标表达式。熟练掌握用坐标表达式进行矢量运算。掌握平面方程及和直线方程的求法。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形。了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程。

7、二元函数微分法及其应用

12

知识点：多元函数的定义，二元函数连续性的概念，偏导数与全微分，多元函数的极值及求法。

重点；多元函数的定义，偏导数与全微分，条件极值。

难点：复合函数的偏导数，条件极值。

基本要求：理解多元函数的概念。了解二元函数的极限、连续等概念以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数、全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。熟练掌握复合函数的求偏导数的方法，会求复合函数的二阶偏导数。会求隐函数的偏导数，了解由方程组确定的隐函数的偏导数的求法，了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，掌握它们的方程的求法。理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求条件极值。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

8、重积分

10

知识点：二重积分的概念及其性质，二重积分的计算法（包括极坐标），二重积分在几何学中的应用，二重积分在物理学上应用举例。三重积分的概念及其性质，三重积分的计算法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标），三重积分的应用。

重点：二重积分的概念，二重积分的计算法，三重积分的计算法。

难点：二重积分的计算，三重积分的计算。

基本要求：理解二重积分、三重积分的概念，知道重积分的性质。熟练掌握二重积分的计算方法(包括直角坐标与极坐标)。了解三重积分的的计算方法(包括直角坐标、柱面坐标与球面坐标)。会用重积分表达一些几何量与物理量(如：平面与曲面的面积、体积、质量、重心、转动惯量等)。

9、曲线积分与曲面积分

12

知识点：曲线积分的概念及其性质，曲线积分的计算法，曲线积分的应用举例。曲面积分的概念及其性质，曲面积分的计算法，曲面积分的应用举例。平面曲线积分与二重积分的关系（格林公式），曲面积分与三重积分的关系（高斯公式），空间曲线积分与曲面积分的关系（斯托克斯公式），平面曲线积分与路径无关的条件，散度，旋度。

重点：曲线积分的概念及其性质，曲线积分的计算法，曲面积分的概念及其性质，曲面积分的计算法，平面曲线积分与二重积分的关系（格林公式），平面曲线积分与路径无关的条件，曲面积分与三重积分的关系（高斯公式）。

难点：曲线积分的计算法，曲面积分的计算法，平面曲线积分与路径无关的条件。

基本要求：理解两类曲线积分的概念，知道两类曲线积分的性质，掌握两类曲线积分的计算方法。掌握格林公式(Green)，会运用平面曲线积分与路径无关的条件。知道两类曲面积分的概念，并会计算两类曲面积分。了解高斯(Gauss)公式，会运用曲面积分与曲面无关的条件。了解斯托克斯（Stokes）公式及空间曲线积分与路径无关的条件。知道散度、旋度的概念，会计算散度与旋度。了解曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量（如弧长、面积、功、通量、重心等）。

10、无穷级数

20

知识点：数项级数的概念、级数的收敛与发散、级数的基本性质、收敛的必要条件，正项级数敛散性的判别法，任意项级数，幂级数的概念：收敛半径、收敛区间，将简单的初等函数展开为幂级数，三角级数概念，傅立叶（Fourier）级数的概念，函数展开为傅立叶级数。函数展开为正、余弦级数。

重点：数项级数的概念，正项级数敛散性的判别法，几何级数、调和级数和Ｐ级数的敛散性，任意项级数，莱布尼兹判别法，幂级数的概念，收敛半径，简单的初等函数展开为幂级数。函数的傅立叶系数，函数展开为傅立叶级数。

难点：正项级数敛散性的判别法，幂级数的收敛半径，初等函数展开为幂级数。函数展开为傅立叶级数。

基本要求：

理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数收敛的必要条件，知道无穷级数的基本性质。掌握几何级数和P--级数的收敛性。掌握正项级数的敛散性的比较判别法及比值判别法，会用根值判别法。掌握交错级数的莱布尼兹定理。条件收敛的概念，及绝对收敛与条件收敛的关系。知道函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握简单幂级数的收敛域的求法，知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充要条件。掌握、、、和的马克劳林(Maclaurin)展开式，并能用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数。会用幂级数进行一些近似计算。了解函数展开为付立叶(Fourier)级数的充分条件。能将定义在和 上的函数展开为付立叶级数。能将定义在上的函数展开为正弦级数或余弦级数。

11、常微分方程

14

知识点：微分方程的概念，可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性微分方程，可降阶方程，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。

重点：微分方程的概念，可分离变量的方程，一阶线性微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。

难点：齐次方程，可降阶方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。

基本要求：

了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。会识别下列几种一阶方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、贝努利(Bernoulli)方程和全微分方程。掌握

有关说明：