课程名称

中文：积分变换与复变函数

英文：Complex Functions and Integral Transformation

课程编号

学分/学时

3学分/48学时

所属教研室

大学数学教学部

前后课程

高等数学、线性代数、概率论与数理统计等

课程类型

公共基础课

考核方式

考试

授课对象

光信息、电子工程、电气、通信、自动化类等专业

教学目的

本课程为工科特别是光信、电子（电气）工程、信号处理等专业的基础课。通过本课程的学习，要求学生掌握复分析及积分变换的方法，为处理线性系统作出必要的数学准备。

使学生正确理解和掌握复变函数的基本理论和方法，掌握Fourier变换与Laplace变换的基本理论和方法的基础上,为进一步学习数字信号处理等后续专业课程及进一步扩大数学知识面提供必要的数学基础，同时使学生在利用这些概念和方法分析解决实际问题方面具备一定的能力。

教学重点、难点：

重点:复数的运算及各种表示法；复变函数以及映射的概念；解析函数的概念；函数解析性的判别；复变积分的基本定理；柯西积分公式及高阶导数公式；复变函数展开成泰勒级数与洛朗级数；留数的计算与留数定理；函数的Fourier变换、Laplace变换及其逆变换；Fourier变换与Laplace变换的应用。

难点：解析函数的充要条件和求导公式的应用，解析函数和调和函数的关系，柯西积分公式和高阶导数的混合应用，把复变函数展开成洛朗级数以及和函数的求法，用留数定理求定积分的三种方法，Fourier变换和Lapalce变换的几个性质在解方程的应用，卷积和卷积定理的应用

教材和主要参考资料：

教 材：

[1]《复变函数》高教出版社出版,西安交通大学编

[2]《积分变换》高教出版社出版,东南大学数学系 张元林编

参考书：

[1]《复变函数与积分变换》科学出版社出版,哈工大数学系编

[2]《复变函数与积分变换》高教出版社出版,周正中、郑吉富编

[3]《复变函数与运算微积初步》人民教育出版社，格·列·伦兹，列·埃·艾乐斯歌茨著，熊振翔等译，1996年

教学内容

学时

基本要求

第一部分 复变函数

Ch1、复数与复变函数

4

理解复数的概念及各种表示；掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算；理解区域的有关概念；掌握用复数方程来表示常用曲线及用不等式表示区域的方法；了解复变函数及映射的概念，复变函数与一对二元实函数的关系；知道复变函数的极限与连续及其运算性质.

Ch2、解析函数

4

理解复变函数的导数的定义，掌握求导的方法；理解解析函数的定义，掌握函数解析的充要条件，会判断一个函数是否解析；了解指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数的定义，及它们的解析性质、运算性质.

Ch3、复变函数的积分

6

掌握复变函数积分概念，柯西-古萨基本定理，复合闭路定理，柯西积分公式，解析函数的高阶导数

Ch４、级数

8

知道复数列收敛的概念；了解复数项级数收敛的有关定理，能判断复数项级数的收敛性；了解阿贝尔定理及幂级数的收敛情况，掌握求幂级数收敛圆的方法，知道幂级数在收敛域的性质；知道复变函数展开式成泰勒级数的条件，熟悉几种初等函数（e^z，，，，）的麦克劳林展开式；理解洛朗级数的概念及其收敛域，能熟练地把一些较简单的函数在不同的圆环域内展开为洛朗级数.

Ch5、留数

6

了解孤立奇点的定义及其分类，掌握其判断方法;掌握极点与零点的关系，会用零点的级数求相应极点的留数；理解留数定理及其应用;掌握孤立奇点（包括点）留数的计算方法，会用留数定理求一些必要的定积分.

Ch6、共形映射

6

理解解析函数导数的几何意义，共形映射的概念及其重要性质；掌握线性映射、分式线性映射及其性质；了解唯一决定分式线性映射的条件。

第二部分 积分变换

Ch1、Fourier变换

8

理解傅里叶变换及其逆变换的概念，掌握某些函数的傅里叶变换;了解—函数的概念和性质，记住—函数的Fourier变换;了解傅里叶变换的性质和卷积定理；会用Fourier变换解微分方程和偏微分方程。

Ch2、Laplace变换

6

理解拉普拉斯变换的概念，注意它与傅里叶变换的区别、联系;掌握求拉普拉斯变换的方法;了解拉普拉斯变换的性质;掌握卷积和卷积定理的关系；了解用留数求拉普拉斯逆变换的方法;知道卷积、卷积定理；能熟练应用拉普拉斯变换，求解微分方程或微分方程组.

有关说明：