《积分变换与复变函数》课程教学大纲
课程名称（中文）：积分变换与复变函数
课程名称（英文）：Integral Transformation and Functions of Complex Variables
课程代码：21900401
学分/学时：3学分/48学时
课程类型：公共基础课
开课单位：数学与统计学院
适用专业：工科类专业
先修课程：高等数学
后续课程：
一、课程简介
《积分变换与复变函数》是我校工科类专业学生必修的重要基础理论课程，本课程为工科特别是光信、电子（电气）工程、信号处理等专业的基础课。通过本课程的学习，要求学生掌握复分析及积分变换的方法，为处理线性系统做出必要的数学准备。使学生正确理解和掌握复变函数的基本理论和方法，掌握Fourier变换与Laplace变换的基本理论和方法的基础上, 为进一步学习数字信号处理等后续专业课程及进一步扩大数学知识面提供必要的数学基础，同时使学生在利用这些概念和方法分析解决实际问题方面具备一定的能力。
二、课程目标
通过本课程使学生正确理解和掌握复变函数的基本理论和方法，掌握Fourier变换与Laplace变换的基本理论和方法的基础上, 为进一步学习数字信号处理等后续专业课程及进一步扩大数学知识面提供必要的数学基础，同时使学生在利用这些概念和方法分析解决实际问题方面具备一定的能力。
课程目标1. 掌握课程的基本理论知识、基本技能及数学思想方法。
课程目标2. 培养学生用数学思想方法解决实际应用问题的能力和创新能力。
课程目标3. 通过数学文化、数学思想、数学精神、劳动教育的渗透，培养学生积极进取，脚踏实地的作风，增强学生的文化自信和爱国情怀，帮助学生树立正确的劳动观和劳动态度，树立勇于奉献、敢于担当、勇于创新的劳动精神。
课程教学内容及学时分配
章节 （单元） |
教学内容 |
学时 |
授课要点 （重点、难点、课程思政元素） |
课程目标 |
毕业要求 （选填） |
复变函数 第一章 复数与复变函数 |
1、复数及其代数运算 2、复数的几何表示 3、复数的乘幂与方根 4、区域 5、复变函数 6、复变函数的极限和连续性 |
4 |
重点：复数的运算及各种表示法；复变函数以及映射的概念； 难点：复数的表示法；四则运算；棣莫佛公式； 课程思政元素: 通过介绍数学家高斯的数学成就，使学生了解数学发展史，引导学生培养数学学习的兴趣。 |
课程目标1 课程目标2 课程目标3 |
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第二章 解析函数 |
1、解析函数的概念 2、解析函数的充要条件 3、初等函数 |
6 |
重点：解析函数的概念；函数解析性的判别； 难点：用Cauchy-Riemann方程判定函数的解析性；初等函数的定义； 课程思政元素: 通过介绍数学家欧拉的数学成就，使学生了解数学发展史，引导学生培养对数学学习的兴趣。 |
课程目标1 课程目标2 课程目标3 |
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第三章 复变函数的积分 |
1、复变函数积分的概念 2、柯西－古萨基本定理 3、基本定理的推广—复合闭路定理 4、原函数和不定积分 5、柯西积分公式 6、解析函数的高阶导数 7、解析函数与调和函数的关系 |
8 |
重点：复变积分的基本定理；柯西积分公式及高阶导数公式； 难点：复变积分的基本定理；柯西积分公式及高阶导数公式； 课程思政元素: 柯西公式显示函数在有界闭区域内部的值完全由其在边界上的值确定，这是“一线”决定“一面”的例证，再次体现了复变函数论课程的“见微知著”、“以偏概全”的特性。其实人生人生的很多过程也是如此，可以说人的一生常常出现“一点”决定“一线”、“一面”的情形。 |
课程目标1 课程目标2 课程目标3 |
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第四章 级数 |
1、复数项级数 2、幂级数 3、泰勒级数 4、洛朗级数 |
8 |
重点：复变函数展开成泰勒级数与洛朗级数；收敛半径的求法； 难点：阿贝尔定理的应用；复变函数展开成泰勒级数与洛朗级数； 课程思政元素: 复数项级数是通过级数部分和极限的存在性来定义级数的收敛性以及有限项的和到无限项性质转变，这都揭示了辩证唯物主义中量变到质变的规律。通过级数的绝对收敛与条件收敛的性质的不同，引导学生只有自身本领强硬，以后在各种条件下才可能施展你的才华。调和级数虽然每一项都趋于0，但却是发散的，引导学生“勿以善小而不为”、“不积跬步无以至千里”，鼓励学生做好自己的工作，虽然每个人的力量是微小的，但集体的力量是强大的。 |
课程目标1 课程目标2 课程目标3 |
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第五章 留数 |
1、孤立奇点 2、留数 3、留数在定积分计算上的应用 |
8 |
重点：留数的计算与留数定理； 难点：留数的计算与留数定理； 课程思政元素: 留数定理的应用学习中，首先给出   形式的高数中的定积分问题，启发学生逆向思维将此定积分问题转换为复积分，从而改变解决问题的方向从不同角度找到最佳方法。启迪学生思考问题要多角度多维度，敢于尝试敢于探索。 |
课程目标1 课程目标2 课程目标3 |
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积分变换 第一章 Fourier变换 |
1、Fourier积分 2、Fourier变换 3、Fourier变换的性质 4、卷积与相关函数 5、Fourier变换的应用 |
8 |
重点：函数的Fourier变换、Laplace变换及其逆变换； 难点：函数的Fourier变换、Laplace变换及其逆变换； -函数； 课程思政元素:在介绍Fourier积分表达式的过程中，启发学生体会离散对象和连续对象之间的对立统一规律。古老的Fourier变换技术在语音降噪、图像处理等时下热门领域大显身手，体现了数学理论超前的特性，这提示人们在理论研究上不必过分追求实用，耐心耕耘，静待花开。为克服经典意义下的Fourier变换的局限，数学家们引入了弱收敛与广义函数。delta函数作为最基础的广义函数，为描述瞬时响应提供了数学工具。同时发展起来的广义函数和广义导数给微分方程式提供了新的内涵，这是理论引领实践的鲜明例子：正如现实中不存在直线，而直线却成为工程实践的标准和追求一样，现实中不存在真正的瞬时现象，然而严格的瞬时理论才是解释某些物理后果的恰当表述。 |
课程目标1 课程目标2 课程目标3 |
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第二章Laplace变换 |
1、Laplace变换的概念 2、Laplace变换的性质 3、Laplace逆变换 4、卷积 5、Laplace变换的应用 |
6 |
重点：傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质；用傅里叶变换/拉普拉斯变换求解微分方程或微分方程组；卷积定理； 难点：用傅里叶变换/拉普拉斯变换求解微分方程或微分方程组；卷积定理； 课程思政元素: 克服Fourier变换局限的另一个方向是建立Laplace变换。这是现代数学的鲜明特征：同一个数学概念，往往有完全不同的技术路径和描述方式，其推广更是如此。Laplace变换在绝大多数情形下，将实变函数转换为复解析函数，具有更好的性质，使得复变函数的有力工具可以发挥作用。计算Laplace逆变换的留数方法进一步体现了复变函数在应用上的威力。从复数最初提出时的“虚幻数字”时代，发展到庞大坚实的解析函数论，直至在应用领域开始发力，复变函数的丰富成果是当初完全不可想象的。我们可以引导年轻的学生建立信心：不要早早规划局限自己，保持好奇心和兴趣，未来就有无限可能。 |
课程目标1 课程目标2 课程目标3 |
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四、课程考核
成绩分项 |
占比（%） |
考核及评价细项操作说明 |
平时成绩 |
30 |
根据学生的课堂学习、作业（小测）等综合评定 |
期末成绩 |
70 |
重点考查全部章节，闭卷 |
平时考核着重关注学生在参与教学活动中表现和态度以及成果，将学生的学习分解到教学活动的全过程当中，采用形式多样的考核方式，可根据学生的1）课堂学习（考勤、讨论及课堂表现）、2）作业（小测）等综合评定。
1）课堂学习：考勤、课堂表现、课堂互动，课堂表现、课堂互动是指课堂教学中工程实例讨论、知识点讨论、作业讨论等。课堂学习记录≥5次，下表为评分规则。
完成情况 |
得分 |
无旷课迟到早退现象，专心上课；积极参与讨论，能清楚地阐明自己的观点和想法，能积极与同学、老师交流互动 |
90-100分 |
无旷课迟到早退现象，上课较专心；较积极地参与讨论，能较清楚地阐明自己的观点和想法，能与同学、老师交流互动 |
75-90分 |
有旷课迟到早退现象1-2次；参与讨论的积极性一般，阐明自己的观点和想法能力一般 |
60-75分 |
有旷课迟到早退现象3次以上，上课不专心；不参与讨论，不能与同学、老师交流互动 |
60分以下 |
2）作业：每次作业应在规定时间上交，迟交作业或作业不满足下列要求均按零分计算，每次作业按百分制评分，下表为作业的评分规则；小测按照百分制及按试卷的评分标准执行。作业（小测）记录≥6次。
完成情况 |
得分 |
严格按照作业要求并及时完成，基本概念清晰，解决问题的方案正确、合理，计算准确，图面正确，书写规范 |
90-100分 |
按照作业要求并及时完成，基本概念较清晰，解决问题的方案较正确，图面及书写较规范 |
75-90分 |
基本按照作业要求并及时完成，基本概念基本清晰，解决问题的方案基本正确、基本合理，图面及书写基本规范 |
60-75分 |
不能按作业要求，未及时完成作业，基本概念不清楚，不能制定正确解决问题的方案，图面马虎、字迹潦草，或者发现抄袭 |
60分以下 |
五、教学方法
《积分变换与复变函数》是工科专业的一门重要的基础课。通过课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论、方法及应用，掌握Fourier变换与Laplace变换的性质、方法，为学习有关后续课程奠定必要的数学基础。它的理论和方法，对于数学的其他学科，对于物理，力学，工程技术中的一些问题，有许多重要的应用。通过本课程的教学，应使学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力，从而为从事教学研及其他实际工作打好基础。
课堂教学以课堂讲授为主，使用多媒体、板书、Flash动画，结合作业、小测、答疑等方式共同实施，注重过程启发式教学法，调动学生的学习积极性和学习效率。在教学中加强习题课的教学，使学生在掌握相应的数学能力的同时，形成创新和应用技能，注意植入一些专业知识，既保证课程的趣味性，又保证课程的实用性。
围绕“立德树人”总目标，通过深度挖掘课程蕴含的思想政治教育资源，激活或融入思政元素，优化教学方法，如春风化雨润物无声中实现思想引领，内化于心外化于行，实现价值塑造、知识传授、能力培养三位一体。通过介绍数学史，精心设计巧妙融合地引入数学家的故事，把做人做事的基本道理、社会主义核心价值观、民族复兴的理想和责任有机融入，以润物无声的方式影响学生。劳动教育融入课程教学的整个过程，培养学生正确的劳动意识，做到知行合一，培养学生的责任与担当意识。
六、教材及参考书目
教 材：
[1]《复变函数》，西安交通大学编，高等教育出版社，1996.
[2]《积分变换》，张元林编，高等教育出版社，2019.
参考书：
[1]《复变函数与积分变换》，哈工大数学系编，科学出版社出版，2010.
[2]《复变函数与积分变换》，周正中、郑吉富编，高等教育出版社，1995.
[3]《复变函数与运算微积初步》，人民教育出版社，格•列•伦兹，列•埃•艾乐斯茨著，熊振翔等译，1996.
大纲编制人（签章）： 年 月 日
大纲审核人（签章）： 年 月 日
